Замена вышедшего из строя двигателя потолочного кухонного вентилятора

Если вы введете в поисковик обозначение этого мотора (ТА-4В), то найдете несколько.
Видимо правильный мотор является доступный : –
(например https://www.amazon.com/Frigidaire-5304482242-Motor/dp/B00E00J68S )

Являются ли фотографии 3, 4, 5 и 6 оригинальными соединениями?

Желтый/зеленый (очевидно) — это земля.
и
На схеме ниже видно, что коричневый провод (двигатель) также является заземляющим проводом.
(Проверьте нулевое сопротивление корпуса на этом проводе.)

(Хотя в первом посте вы написали «кухонный вентилятор»,
рассматриваемое устройство и не похоже на вытяжку.)
Вы разместили фотографии двигателя, а также эту схему, которую я улучшил.
(Отмечу, что на этой схеме нет «серого» провода.)

Какая марка/модель нового двигателя и вытяжки?

Соединения, показанные для коричневого, синего и зеленого цветов в «Распределительной коробке» на этой схеме, вызывают некоторое беспокойство!
Я ожидаю, что
Браун будет входящей линией,
Синий будет входящим нейтральным
и
Зеленый будет входящей площадкой.

Следовательно,
Предлагаю вам проверить это,
с помощью мультиметра.

Посмотреть вложение 821296

Вы написали «Черный, который сам по себе заканчивается гайкой из обжатого провода».
Итак, похоже, что этот провод не «использовался».